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包选手:我们再来看“算术和”吧!算术和比数字和性质更多,其实应用面也更多。就简单归结一下吧!不证明什么的了。下面提到的数,不特别说明,都是指正整数;性质相类时适当合并:
性质1: 把一个数的各位数字任意交换,算术和不变;乘以10的正整数次幂,算术和不变;在一个数的任意数位之间插入数字0或9(的正整数倍数),算术和不变;任意去掉这个数中是0或9的数字,算术和不变。
正基于此,计算一个数的算术和,可尽量去掉数字9,或其和是9的几个数字。这一原理,也就是所谓“弃9法”。
性质2: 一个数的9的正整数倍数的算术和是9。
性质3 :一个数的算术和等于这个数除以9所得的余数。
这既是求算术和的另一个方法,也统一于整除性原理。对于数 表示它的算术和。ssh分别是“算术和”3个字的声部的第一个字母;且不妨按汉字去读。性质3就是 。
分析一个数A除以数 的各种情况,可简述为:数A对模 的分类。
(姚评委插话:“‘模’的概念我们已在多个知识点中遇到过了。这里是‘数论’中的意义”)。
对2的分类就是奇偶数。
性质4:
也就是,除法以外的四则运算,包括乘方运算,都具有算术和的运算性质。所以,比如第1题,3294×1234,由 ,当然 ;答案B及D:4064796与4964796的算术和ssh4064796=ssh4964796=9,A、C不是。由估算,排除D,选择B。
(掌声)
性质4中提到的算术和的乘方运算性质,还可以进一步细化,以了解更多的计算规律。比如第10题,其实 。B正确;A、C、D仅首位数与B不同,导致算术和不对。但是,512=244140625数比较大,如果知道其算术和是1,当然很有利。事实上, ,也就是说,12次幂的算术和,不是1就是9。所以第10题因之很容易判断。
在表达上, ,意义是一样的。
进一步细化通过列表可以看得更清楚:
猜数的题正是应用了性质9,即你告诉了对方计算的结果,比如是 ,“藏起”的数字就是 ;如果 恰是9,则“藏起”的数字是0或9。
(掌声,长时间的掌声)
姚评委:包选手的讲解大家都听完了。很不错吧!可见有所准备与一无所知情况是大不相同的。成功对有准备的人有利;理性的学习更有助于知识的积累与能力的提高,理论指导实践,效果与效率天差地别。请大家重视这些。且尤其重视问题研究的方法。比如列表与归纳。
下面举一个稍微有分量的题,说明数字和、算术和不只是低档层次的应用。