一.观察法
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域.
例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域.
点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域.
由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,
故3+√(2-3x)≥3.
∴函数的知域为 .
点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性.
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法.
练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域.(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})
二.反函数法
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域.
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域.
显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}.
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一.
练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域.(答案:函数的值域为{y∣y1})
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