第三个思想:分类与整合思想
分类与整合思想,是一种重要的数学思想,也是一种重要的解题策略。它可以将整体化为局部,将复杂问题化为单一问题,以便于“各个击破”。但做题中要注意克服思维定势,处理好“分”与“合”,“局部”与“整体”之间的辩证统一关系,充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性,尽可能地简化或避免分类讨论。
一般,分类讨论主要是以下几个方面:
(1)所涉及的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
(2)涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况,可以称为性质型。
(3)解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
(4)某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。
第四个思想:化归与转化
这个思想主要是想将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解决问题化归为已解决问题。跟数形结合思想有点点类似,但是这个方法更具有灵活性和多样性,没有统一的模式,需要大家去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
经常用的几个转化的思路总结如下:
(1)立体几何问题,通常要转化为平面几何问题,
(2)多元问题,要转换为少元问题,
(3)高次函数,高次方程问题,转化为低次问题,特别是熟悉的一次,二次问题,
(4)复杂的式子,通过换元转化为简单的式子问题等。但是转化时一定要注意等价转化,切忌做题给自己挖坑。
【例题】
这个题目的四面体只有全等,并没有其他的条件,若直接求解,肯定是难以下手。那按照立体几何问题的转化思路,我们想转化为平面问题,并且角度问题可能需要放到三角函数中或者三角形中求解,关键是题目如何构造与转化。接下来是转化思路大家可以体会一下。