高一数学必修2题型与解题方法(4)

所属专题:高一数学必修2  来源:互联网    要点:高一数学必修2  
编辑点评: 小编为各位同学整理了高一数学必修2常见的解题方法和典型例题,希望大家能够在理解的基础上加以记忆。

七.单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.
例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域.
点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域.
设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}.
点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域.
练习:求函数y=3+√4-x 的值域.(答案:{y|y≥3})

八.换元法
以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域.
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域.
点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域.
设t=√2x+1 (t≥0),则
x=1/2(t2-1).
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}.
点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛.
练习:求函数y=√x-1 –x的值域.(答案:{y|y≤-3/4}

 

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