高考数学压轴题考点:不等式6个证明技巧

 来源:沪江网校    要点:刘爱洁老师  
编辑点评: 高考的题目中,有80%都是中低档难度,也就是说,要想脱颖而出成为佼佼者,压轴题是无论如何都要攻克的难关!

沪江网校刘爱洁老师:人称爱姐,首席高中数学资深教师,北京科技大学数学系研究生。所带学生单科成绩可进步20-80分,提倡快乐学习,爱上数学!

你靠什么冲出高考重围?实力?运气?解题技巧?的确,缺一不可。实力是平时日积月累的努力;技巧是你大脑中形成系统的捷径;而运气,则是上天犒赏给奋斗的礼物。

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但是,高考的题目中,有80%都是中低档难度,也就是说,要想脱颖而出成为佼佼者,压轴题是无论如何都要攻克的难关!压轴题目一般是开放型的题目,每年都是会变化。但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。今天,我就来总结一下不等式的证明方法。

一.比较法

所谓比较法,就是通过两个实数a与b的差或商的符号(范围)确定a与b大小关系的方法,即通过

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来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法,后者为作商法。但要注意作差法适用范围较广;作商法再用时注意符号问题,如果同为正的话是没有问题的,同为负的话记得改变不等式的符号。

 

二.分析法和综合

这两个方法我们一般会一起使用,分析法是从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立。综合法是从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题,已知

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如果要用综合法或者分析法的话,对于过程上需要写明,即证,所以要证,也就是说,即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目,当然这两个方法我们经常一起用,因为分析完条件,分析结论,两个一起分析做题速度更快一些呢。

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三.反证法

从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的。这个方法其实是按照集合的补集理论来的,正难则反,但是要注意用反证法证明不等式时,必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到,不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤:

1) 假定命题的结论不成立;

2) 进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;

3) 由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的;

4) 肯定原来命题的结论是正确的。

 

四.放缩法

在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。放缩法的目的性强,必须恰到好处,。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及,灵活性很大。(明天会另附文章详细说明本方法哈,本篇就不详细介绍了呢,敬请期待)

 

五.数学归纳法

这个方法比较尴尬,容易的题目很好用,难的题目不好用,但是其实可以用。它的基本思路是对于含有n(n∈N)的不等式,当n取第一个值时不等式成立,如果使不等式在n=k(n∈N)时成立的假设下,还能证明不等式在n=k+1时也成立,那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立。比如下边这个例题,我们可以用数学归纳法,但是重点是放缩和转化求解,这也是难点,所以数学归纳法的尴尬就在这个位置了呢,对于这个方法只能说能用就用,不能用不要勉强。

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六.其他方法

对于其他的方法,有换元法,均值不等式法,求导法,不一一说明,因为这几个都很常见,还有一个要重点说明一下就是柯西不等式,这个是大学才学的内容,但是有些压轴题目就是用这个不等式求解的,所以咱们介绍一下这个方法。

柯西不等式可以说是我们均值不等式的高级一些的形式,证明思路也是和我们的均值不等式差不太多,所以大家对于一些知识的来源要注重一下,因为这是我们创新的基础。

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好啦,不等式的证明方法很多种,本文仅仅总结一些常见的方法,大家做题的时候要好好思考,好好的做一下,才能真正的学有所得。

在高考剩余的时间内里要多去思考题目的突破点,不要只看结论。做题应该思考的是我如果没有答案下一次遇见这个类型的题目应该如何进行下手,如何进行求解做题,如何保证得分。希望总结的这几个技巧对大家是有帮助的,高考数学压轴题所需要的不等式的技巧还是蛮多的。高考学子们,加油!


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