高二数学知识点总结:双曲线方程典例分析

所属专题:高二数学知识点总结  来源:沪江高考资源网    要点:高二数学知识点总结  
编辑点评: 学习双曲线的几何性质,可以用类比思想,即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程,从而得出双曲线的几何性质,将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比,便于把握.

双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切;直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式,韦达定理等;渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识,是高考的主要内容.

一、求双曲线的标准方程
    
求双曲线的标准方程 或 (a、b>0),通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.
例1  求与双曲线 有公共渐近线,且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.
解  令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ,将点 代入,得 ,∴双曲线方程为 ,由共轭双曲线的定义,可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .
评  此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地,与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 (kR,且k≠0);有公共焦点的双曲线方程可设为 ,本题用的是待定系数法.
例2  双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ,它的两焦点分别为F1、F2,直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ,且 , 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P,线段PF2与双曲线的交点为Q,且 ,建立适当的坐标系,求双曲线的方程.
解  以F1F2的中点为原点,F1、F2所在直线为x轴建立坐标系,则所求双曲线方程为 (a>0,b>0),设F2(c,0),不妨设 的方程为 ,它与y轴交点 ,由定比分点坐标公式,得Q点的坐标为  ,由点Q在双曲线上可得 ,又 ,
∴ , ,∴双曲线方程为 .
评  此例用的是直接法.

二、双曲线定义的应用

1、第一定义的应用
例3  设F1、F2为双曲线 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=900,求ΔF1PF2的面积.
解  由双曲线的第一定义知, ,两边平方,得 .
∵∠F1PF2=900,∴ ,
∴ ,
∴ .
2、第二定义的应用
例4  已知双曲线 的离心率 ,左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,能否在双曲线左支上找到一点P,使 是 P到l的距离d与 的比例中项?
解  设存在点 ,则 ,由双曲线的第二定义,得 ,
∴ , ,又 ,
即 ,解之,得 ,
∵ ,
∴ , 矛盾,故点P不存在.
评  以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、
或其关系,解题过程将复杂得多.

三、双曲线性质的应用

例5  设双曲线 ( )的半焦距为c,
直线l过(a,0)、(0,b)两点,已知原点到 的距离为 ,
求双曲线的离心率.
解析  这里求双曲线的离心率即求 ,是个几何问题,怎么把
题目中的条件与之联系起来呢?如图1,
∵ , , ,由面积法知ab= ,考虑到 ,
知 即 ,亦即 ,注意到a<b的条件,可求得 .
四、与双曲线有关的轨迹问题
例6  以动点P为圆心的圆与⊙A: 及⊙B: 都外切,求点P的轨迹方程.
解  设动点P(x,y),动圆半径为r,由题意知  , , .
∴ .∴ , ,据 双曲线的定义知,点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支,方程为 : .
例 7  如图2,从双曲线 上任一点Q引直线 的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.
解析  因点P随Q的运动而运动,而点Q在已知双曲线上,
故可从寻求 Q点的坐标与P点的坐标之间的关系入手,用转移法达到目的.
设动点P的坐标为 ,点Q的坐标为 ,
则 N点的坐标为 .
∵点 N在直线 上,∴ ……①
又∵PQ垂直于直线 ,∴ ,
即  ……②
联立 ①、②解得 .又∵点N 在双曲线 上,
∴ ,
即 ,化简,得点P的轨迹方程为: .
五、与双曲线有关的综合题
例8  已知双曲线 ,其左右焦点分别为F1、F2,直线l过其右焦点F2且与双曲线 的右支交于A、B两点,求 的最小值.
解  设 , ,( 、 ).由双曲线的第二定义,得
  , ,
∴ ,
设直线l的倾角为θ,∵l与双曲线右支交于两点A、B,∴ .
①当 时,l的方程为  ,代入双曲线方程得
 .
由韦达定理得: .
∴ .
②当 时,l的方程为  ,∴ ,∴ .
综①②所述,知所求最小值为 .

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