直线与圆锥曲线的弦长公式

所属专题:弦长公式  来源:沪江高考资源网    要点:弦长公式  
编辑点评: 直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一,也是高考的热点,反复考查。考查的主要内容包括:直线与圆锥曲线公共点的个数问题;弦的相关问题(弦长问题、中点弦​问题、垂直问题、定比分点​问题等);对称问题;最值问题、轨迹问题等。

弦长公式

一、引入
直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一,也是高考的热点,反复考查。考查的主要内容包括:直线与圆锥曲线公共点的个数问题;弦的相关问题(弦长问题、中点弦​问题、垂直问题、定比分点​问题等);对称问题;最值问题、轨迹问题等。
二 、证明
弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]
其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号
证明方法如下:
假设直线为:Y=kx+b
圆的方程为:(x-a)^2+(y-u)^2=r^2
假设相交弦为AB,点A为(x1.y1)点B为(X2.Y2)
则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
把y1=kx1+b.
y2=kx2+b分别带入,
则有:
AB=√(x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2
=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2
=√1+k^2*│x1-x2│
证明AB=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]
的方法也是一样的
证明方法二
d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2
这是两点间距离公式
因为直线
y=kx+b
所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)
将其带入
d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
得到
d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2
=√(1+k^2)(x1-x2)^2
=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2
=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2

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