《数学闯关赛》试读:因数分解与因式分解(一)

所属专题:2014年高考考后特别策划  来源:    要点:数学闯关赛  
编辑点评: 数学以及成为一门必学必做的功课!想要好成绩,你得弄懂数学;想要好工作,你得多懂数学;想要了解世界,你更得琢磨数学!这本书满载有趣的数学话题和问题,也注重实际解题能力的打造,含金量大,知识域广,选择面优,是一本值得中学生、中学教师以及广大数学爱好者细丝慢品的数学科普佳作。

用有趣的数学问题提高思考质量,用知识点的黄金交叉发现数学之美。

 作者简介:梁开华

上海晋元高级中学数学高级教师,建国60年功模人物,获2012年“感动中国”最具社会影响力人物荣誉称号 点击梁开华老师的部落>>

 作品简介

《挑战中学生认知与思维的数学闯关赛》是一本权威、深刻而有趣的数学启示读物,它含金量大,知识域广,有为数学界津津乐道的正交设计、黄金分割、费波那契数等经典问题,也有为高考所关注、重视的解析几何、不等式等问题,还有不少趣味十足的智力数学问题,比如拿堆、拼图等等。培养读者们更加全面的数学视角,更加犀利的思维模式,更加有效率的解决数学问题。

等我来到会议厅,曾评委已经开始讲话了。真遗憾,一道因数分解的题,居然分解不出来。那不是初中内容的知识环节吗?却难住高中生。后来我才知道,这是前苏联的竞赛题呢!只不过按其中一个数据给出而已。开会之前,我还在纠结着,应怎么做。一个个值地试,不算个解法呀。又时间快到了,还是到会议厅吧!

曾评委:这一次,有同学给出了相当漂亮的解法。我们也特地把他叫来了,就请高学生来演示他的解法。

高选手:(不紧不慢的步子走到讲台上。哇!高挑个儿,小白脸──聪明的孩子都像是这样的。)对于101010101,不妨看作 。原数理解为十进位制数的一种表达。这样,因数分解由更具一般性的因式分解来解决。而且只须给出相乘的结构,也就是不要求在自然数域内分解到底。这样,就与问题分析相关。这个式子怎么分解呢?我们再变换一个问题:不知大家有没有做过这样的因式分解题: 。似乎有的学校曾把它作为考试题,初中时考过。当然,做过没做过,理解与尝试的效果一定不一样。我们看,这个多项式相当工整。由此,也应该是一个相当齐整的因式结构所组成。提到因式分解,往往总认为是两个或更多个通过尤其是提取公因式等方法获得分解。两个式子相同,即分解形成为平方的样式,一般不会向这方面去思考去尝试,因此往往分解不出来。其实,由系数可感知,这个多项式实质共9项,似应分解为3项与3项相乘的结果。又由其工整性,3项的内容是等可能的。所以,

对照原第一项与最后一项,分解后的第一项与第三项是一定的,由此,第二项也是一定的。所以这个分解式可不假思索,一步到位。

(你看看,你看看。我心里想:似难非难的问题,到了人家会者不难的手里,怎么地轻松简洁……还是注意听吧!)

高选手:这个问题,怎么和原问题关联起来呢?其实,很显然,

写得规整一点,即原式=

也就是说,

(掌声,经久不息的掌声。)

曾评委:高选手分析讲解得很好。你先坐下去──

其实这是前苏联的一道数学竞赛题中的一个数。原题是这样的:

试证 数列10101,1010101,…,1010…101中的每一项都是合数。

我们的题目,就是对101010101在自然数域内分解(不必分解到底)。

那么,受刚才高同学解题的启发,我们能不能顺着这样的思路,对这道竞赛题给出一个完整的解决过程呢?──大家在底下做做看,然后做好的选手上来解答。

(顷刻,笔在纸上流出的沙沙声就像乐音,一阵哧哧作响。)

(不久,有人举手,报名,一位叫庞选手的被曾评委叫上台来。)

庞选手:我认为高同学的问题解法给出了一个问题解决的普遍思路。其实这一思路在因式分解中的应用是相当常见的。比如

代x为十进位制数的基10,也就证明了对应数为合数。

这只是说明了指数……

曾评委:行了,行了行了。我知道你下面继续说明……

秦选手:(一边举手一边打断讲话)曾老师,下面的我来解──

曾评委:好!这位同学你就上来继续做。

秦选手:(上讲台)刚才那位同学证明了 ,对于 ,其实可以把多项式分作两段。比如

>>点击查看2014年高考考后特别策划专题,阅读更多相关文章!

最新2024数学闯关赛信息由沪江高考资源网提供。

请输入错误的描述和修改建议,建议采纳后可获得50沪元。

错误的描述:

修改的建议: