《数学闯关赛》试读：因数分解与因式分解（二）

曾评委：好！大家静下来！我们继续作有关评议。刚才我们解决的问题，与素数、合数有关。素数问题是相当古老的传统的数学问题，在社会发展的长河中，素数问题一度是数学问题中最热门的分支之一，很多的一流数学家，一生探究素数中的顶尖难题乐此不疲，这样的猜想、话题与故事，一直延绵到近、现代。像华罗庚、王元、陈景润等我国杰出数学家，都是在数论、在素数问题上的优秀成果奠定学术上的突出地位的。当然素数问题与现实中的数学问题，与中学数学关联不是很多很重要，我们今天以最概略的方式，说说与素数相关的较为实用以及有信息、认知价值的一些问题。为时间计，就不作互动讨论了。另外，这些介绍，只是为了增多认知，激发学习的兴趣和动力，不是鼓动大家去痴迷于其中的问题诱惑，也去作几乎无谓的研究与思考。现在的主要的首要的任务是求学，是学习，是为将来的奋发打基础。对有志于此者当然也不反对，也应鼓励，但更应清醒学好当下的知识。

◆哪些数是素数。先人给出了“筛法”，已经制定出了比如2000以内、4000以内等素数表可供查找；也可以对于p，逐一检验能否被内的素数整除。有些较大的自然数是不是素数，有些较明显较重要的结论，是不是知道，还是说一说比较好。

──全部由1构成的数，哪些是素数，哪些不是呢？11是素数，令人意想不到的是，下一个素数是；23个1

──1234567891是素数；

── 开始的题目中，第1个数是10101，可见101是素数。

◆一些关系式与结论。

──m是自然数，在m~2m-2之间，至少存在一个素数；

──素数有无穷多，至今不存在单纯给出素数的公式；

──形如的素数叫做费尔马素数。费尔马这个做律师的几乎最了不起的17世纪法国业余数学家，大家都应知道，我就不作介绍了。他曾“吹牛”他的那个式子是素数公式，遗憾的是，被瑞士至今都不愧为最伟大的数学家欧拉指出，当n=5时，它有因数641。按理说，这个表达式就废掉了，费尔马因之会很狼狈。但数学上的轶事就那么出人意料，鬼使神差。数学王子高斯的一个定理使费尔马的表达式重放异彩。高斯说，当用圆规直尺对圆周任意n等分时，能够作图取决于n是素数。也就是说合数不成问题。但比如n=7就不能作出。什么样的素数能够作出呢？这就是费尔马素数。分别是对圆周3等份、5等份早已解决。高斯给出了对圆周17等份的作图过程。高斯对什么样的素数能够尺规等分圆周是作出证明的，即不是嬉闹说笑的。因之，许多专业、业余数学家就忙乎起来。终于有人作出了圆周的等份，手稿整整一手提箱，现仍存放于大英博物馆。费尔马素数是不是非同一般哪？高斯死后的纪念碑，就是正17棱柱形的。

──形如是素数）的素数叫做默森尼素数。默森尼是同时代法国的数学家，是大数学家笛卡尔的同学。──可见那个时代法国数学界的实力。探求它的解也使专业、业余的数学家们为之颠狂。即便动用了最现代的电子计算机，解也不过弄出40来个。那最后面的，已是大得不得了了。后面还有吗？无穷多吗？不知道！

──费波那契数列几乎人所共知。即1，1，2，3，5，8，13，21，…满足里面哪些是素数呢？据说至今只弄出16个。到底有没有了？有多少？不知道！

──还是那个费尔马，有他的小定理。费尔马大定理这里就不赘述了。小定理是指：p是素数，a是任意整数， 除以p的余数是a。即

──威尔逊定理：n∈N(n>1)是素数的充要条件是，其中m！即m的阶乘，想必大家应该知道，就是1到m的连乘积。比如7！=5040。因之，这个定理不具应用意义。

──4k+1型的素数能够惟一地表示为两个正整数的平方和.即p是素数,则由此倒得出一个合数的判定方法：只要m有两种以上表示两个正整数平方和的方法，m就是合数。而且这样的合数不含4k－1因子。比如101是素数，101=10²+1²，707就没办法表示为两个正整数的平方和。

──另外，如果n是合数，其分解式N*）是惟一的和确定的；且共有因式 个。

◆有关重要猜想

比如孪生素数（p，p+2）猜想：孪生素数是有限的，还是无穷多的；哥德巴赫猜想：每一个充分大的偶数可以表示为两个素数的和。等等。尤其是哥德巴赫猜想，仍是迄今最著名最困难的数学猜想。陈景润的“筛法”及其“1+2”定理，即一个是素数，另一个是两素数相乘，至今世界领先。相关介绍及其他内容，大家有兴趣可自己阅读相关书籍。

也许有人要问，素数问题那么抽象，那么很少与现实问题搭界，有什么用啊？至少有这些应用意义：（1）显现智力水平；（2）显现科技水平。比如利用计算机计算，时代不同，方法与效果不同；（3）刺激数学的新方法新知识体系的诞生与完善；（4）直接应用。比如大素数用于计算机加密的安全可靠。……

今天就简述到这里了。

 

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