如何解答数学题目

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编辑点评: 为了搞清楚数学基础,数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。德国数学家康托(Georg Cantor,1845-1918)首创集合论,大胆地向“无穷大”进军,为的是给数学各分支提供一个坚实的基础,而它本身的内容也是相当丰富的,提出了实无穷的存在,为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。

一、学习现象

很多同学反映:老师讲课能听懂、知识点会,但是题目做不对,或者不会做题。这该怎么办?重要的是,已经做了大量的数学题,可是依然不见效果,怎么办?
在中学数学中,思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则,考察问题时严格、准确,进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学,论证的严密性是数学的根本特点之一。但是,由于认知水平和心里特征等因素的影响,中学生的思维过程常常出现不严密现象,主要表现在以下几个方面:
知识点理解不足——概念模糊  概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念,搞清概念的内涵和外延,为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱,产生错误。
审题问题——判断错误  判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中,如果概念不清,很容易导致判断错误。例如,“函数y=(1/3)的-x次方,是一个减函数”就是一个错误判断。
不会思考——推理错误   推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的,推理出错,说明思维不严密。
思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。
(1) 有关概念的训练
概念是抽象思维的基础,数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”《中学数学教学大纲》(试行草案)
更多的例子就不举了,直接谈如何训练。
(2)判断的训练
造成判断错误的原因很多,我们在学习中,应重视如下几个方面。
①注意定理、公式成立的条件
数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件,解题中难免出现错误。
②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用
我们知道:
如果 A成立,那么B成立,即A=>B,则称A是B的充分条件。
如果B成立,那么A成立,即B=>A,则称A是B的必要条件。
如果A<=>B,则称A是B的充分必要条件。
充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解,求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同,稍用疏忽,就会出错。
③防止以偏概全的错误
以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,从而表现出思维的不严密性。
④避免直观代替论证
我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是,如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理,这就会使思维出现不严密现象。
(3) 推理的训练
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密。

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