教材分析
和古典概型一样,在特定情形下,我们可以用几何概型来计算事件发生的概率.它也是一种等可能概型.
教材首先通过实例对比概念给予描述,然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍,给出了几何概型的一种常用计算方法.与本课开始介绍的P(A)的公式计算方法前后对应,使几何概型这一知识板块更加系统和完整.
这节内容中的例题既通俗易懂,又具有代表性,有利于我们的教与学生的学.教学重点是几何概型的计算方法,尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量;教学难点是突出用样本估计总体的统计思想,把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.
教学目标
1. 通过这节内容学习,让学生了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.
2. 通过对照前面学过的知识,让学生自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计未知量的方案,培养学生的实际操作能力.
3. 通过学习,让学生体会试验结果的随机性与规律性,培养学生的科学思维方法,提高学生对自然界的认知水平.
任务分析
在这节内容中,介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,因此,教学重点是随机模拟部分.这节内容的教学需要一些实物模型作为教具,如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动.有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果.
教学设计
一、问题情境
如图,有两个转盘.甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.
问题:在下列两种情况下分别求甲获胜的概率.
二、建立模型
1. 提出问题
首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系,若有关系,和几何体图形的什么表面特征有关系?学生凭直觉,可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关.即:字母B所在扇形弧长(或面积)与整个圆弧长(或面积)的比.接着提出这样的问题:变换图中B与N的顺序,结果是否发生变化?(教师还可做出其他变换后的图形,以示决定几何概率的因素的确定性).
题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关,我们就说它是几何概型.
注意:(1)这里"只"非常重要,如果没有"只"字,那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关,这是错误的.
(2)正确理解"几何因素",一般说来指区域长度(或面积或体积).
2. 引导学生讨论归纳几何概型定义,教师明晰---抽象概括
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
3. 再次提出问题,并组织学生讨论
(1)情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少?
(2)在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.
(3)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10min的概率.
通过以上问题的研讨,进一步明确几何概型的意义及基本计算方法.
三、解释应用
[例 题]
1. 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,而你父亲离开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少.
分析:我们有两种方法计算事件的概率.
(1)利用几何概型的公式.
(2)利用随机模拟的方法.
解法1:如图,方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在方形内任一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以
解法2:设X,Y是0~1之间的均匀随机数.X+6.5表示送报人送到报纸的时间,Y+7表示父亲离开家去工作的时间.如果Y+7>X+6.5,即Y>X-0.5,那么父亲在离开家前能得到报纸.用计算机做多次试验,即可得到P(A).
教师引导学生独立解答,充分调动学生自主设计随机模拟方法,并组织学生展示自己的解答过程,要求学生说明解答的依据.教师总结,并明晰用计算机(或计算器)产生随机数的模拟试验.强调:这里采用随机数模拟方法,是用频率去估计概率,因此,试验次数越多,频率越接近概率.
2. 如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比,并以此估计圆周率的值.
解:随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即
假设正方形的边长为2,则
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以
这样就得到了π的近似值.
另外,我们也可以用计算器或计算机模拟,步骤如下:
(1)产生两组0~1区间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;
(2)经平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;
(3)数出落在圆内a2+b2<1的豆子数N1,计算 (N代表落在正方形中的豆子数).
可以发现,随着试验次数的增加,得到π的近似值的精度会越来越高.
本例启发我们,利用几何概型,并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积.
[练 习]
1. 如图30-4,如果你向靶子上射200镖,你期望多少镖落在黑色区域.
2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分(y=1和y=x2围成的部分)的面积.
3. 画一椭圆,让学生设计方案,求此椭圆的面积.
四、拓展延伸
1. "概率为数'0'的事件是不可能事件,概率为1的事件是必然事件",这句话从几何概型的角度还能成立吗?
2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗?
3. 你能说说频率和概率的关系吗?
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教案，也称课时计划，教师经过备课，以课时为单位设计的具体教学方案，教案是上课的重要依据，通常包括：班级、学科、课题、上课时间、课的类型、教学方法、教学目的、教学内容、课的进程和时间分配等。
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