高一数学必修2题型与解题方法(5)

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编辑点评: 小编为各位同学整理了高一数学必修2常见的解题方法和典型例题,希望大家能够在理解的基础上加以记忆。

九.构造法
根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合.
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域.
点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域.
原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位
正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 .
由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共
线时取等号.
∴原函数的知域为{y|y≥5}.
点评:对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷.这是数形结合思想的体现.
练习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域.(答案:{y|y≥5√2})

十.比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域.
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.
点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数.
由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1.
当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1.
函数的值域为{z|z≥1}.
点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识.
练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})

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