五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域.
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域.
∵3x2+x+1＞0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得－1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小.
当x=-1时,z=－5；当x=3/2时,z=15/4.
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝.
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域.
练习：若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）
A．（－∞,＋∞） B．[－7,＋∞] C．[0,＋∞） D．[－5,＋∞）
（答案：D）.
六．图象法
通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域.
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域.
点拨：根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象.
原函数化为 －2x+1 (x≤1)
y= 3 (-12)
它的图象如图所示.
显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,＋∞].
点评：分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象
求函数的值域,体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法.
求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域.
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